Question

如图，正三棱台ABC－A₁B₁C₁中，A₁B₁＝2，AB＝4．

(1)若三棱台的高为3，A₁B₁＝2，AB＝4，求侧棱长及侧面与底面所成的角；

(2)若三棱台的高为h，A₁B₁∶AB＝1∶2，过B₁C₁平行于相对侧棱AA₁的截面把这个三棱台分成两部分，求这两部分的体积比．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如图， 　　设正三棱台ABC－A1B1C1上、下底面中心分别为点O1、O，作O1E⊥B1C1，垂足为E，ED⊥BC，垂足为D，EF⊥OD于点F，C1G⊥CO于点G． 　　在Rt△CC1G中，C1G＝3， 　　CG＝CO－C1O1＝， 　　∴． 　　由作图可知，侧面与底面所成的角就是∠EDO． 　　在Rt△EDF中，EF＝3， 　　DF＝DO－EO1＝， 　　∴tan∠EDF＝． 　　∴∠EDF＝arctan． 　　(2)设截面B1C1NM∥A1A，则B1M∥A1A∥C1N，几何体A1B1C1－AMN为三棱柱．再设三棱台的上、下底面积分别为S1、S2． 　　∵△A1B1C1∽△ABC，且A1B1∶AB＝1∶2， 　　∴S1∶S2＝1∶4，即S2＝4S1． 　　∴V三棱台＝． 　　V三棱柱＝S1h． 　　∴另一部分多面体的体积V＝V三棱台－V三棱柱＝hS1． 　　∴V三棱柱∶V＝3∶4．