Question

已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。

（1）函数是否属于集合？说明理由；

（2）设函数，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f（x）＝；（Ⅱ）a[3－，3＋]；

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，由有：

，即     3分

f（x）＝的定义域为，

令，整理得x＋x＋1＝0，△＝－3<0，

因此，不存在x使得f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立，所以f（x）＝；…… 6分

（Ⅱ）f（x）＝lg的定义域为Ｒ，f（1）＝lg，a>0，    ..7分

若f（x）＝ lgM，则存在xＲ使得lg＝lg＋lg，

整理得存在xＲ使得（a－2）x＋2ax＋（2a－2）＝0.      8分

（1）若a－2＝0即a＝2时，方程化为8x＋4＝0，解得x＝－，满足条件; 10分

（2）若a－20即a时，令△≥0，    12分

解得a，      13分

综上，a[3－，3＋]；       14分

考点：本题主要考查对数函数的性质，集合的概念。

点评：综合题，本题以新定义函数为载体，综合考查对数函数的性质，方程解的讨论，对考生数学式子变形能力要求较高。本题较难。