Question

11．已知f（x）的导函数为f′（x）且满足f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x，则f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{22}{27}$．

Answer 1

分析 对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=$\frac{2}{3}$代入导函数中，列出关于f′（$\frac{2}{3}$）的方程，进而得到f′（$\frac{2}{3}$）的值，确定出函数f（x）的解析式，把x=$\frac{2}{3}$代入
f（x）解析式，即可求出f（$\frac{2}{3}$）的值．

解答 解：由f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x，得f′（x）=3x²+2f′（$\frac{2}{3}$）x-1，
∴$f′（\frac{2}{3}）=3×（\frac{2}{3}）^{2}+2×\frac{2}{3}f′（\frac{2}{3}）-1$，解得：f′（$\frac{2}{3}$）=-1．
∴f（x）=x³-x²-x，
则f（$\frac{2}{3}$）=$（\frac{2}{3}）^{3}-（\frac{2}{3}）^{2}-\frac{2}{3}$=-$\frac{22}{27}$．
故答案为：-$\frac{22}{27}$．

点评 此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f′（$\frac{2}{3}$）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键，是中档题．