【题目】如图，在直三棱柱
中，底面△
是等腰直角三角形，
，
为侧棱
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得到
，根据直棱柱的几何性质证得
，由此证得
平面
.
（2）首先通过平移作出异面直线
与
所成的角（或其补角）.解法一，通过解直角三角形求得异面直线与所成的角的正切值，由此求得异面直线与所成的角的大小.解法二，利用余弦定理解三角形，求得异面直线与所成的角的余弦值，由此求得异面直线与所成的角的大小.
（1）因为底面△
是等腰直角三角形，且
，所以，，
因为
平面，所以，
又
，
所以，平面．
（2）取
点
，连结
、
，则∥
所以，
就是异面直线与所成角（或其补角）．
解法一：由已知，
，
，所以
平面，所以△
是直角三角形，且
，
因为
，
，所以，
，
所以，异面直线与
所成角的大小为
．
解法二：在△中，
，，，
由余弦定理得，
．
所以，异面直线与所成角的大小为．
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【题目】如图，有一块平行四边形绿地
，经测量
百米，
百米，
，拟过线段
上一点
设计一条直路
（点
在四边形
的边上，不计路的宽度），
将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设
百米，
百米．
（1）当点
与点
重合时，试确定点
的位置；
（2）试求
的值，使路
的长度
最短．
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【题目】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且
(nN*)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列
满足
，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn；
(3)设
*(
为正整数)，问是否存在正整数
，使得当任意正整数n>N时恒有Cn>2015成立？若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由．
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【题目】在平面直角坐标系
中，
为坐标原点，C、D两点的坐标为
,曲线
上的动点P满足
.又曲线上的点A、B满足
.
（1）求曲线的方程；
（2）若点A在第一象限，且
，求点A的坐标；
（3）求证：原点到直线AB的距离为定值.
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【题目】关于函数
，给出以下四个命题：（1）当
时，
单调递减且没有最值；（2）方程
一定有实数解；（3）如果方程
（
为常数）有解，则解得个数一定是偶数；（4）是偶函数且有最小值.其中假命题的序号是____________.
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【题目】设数列 
的前
项和为
，对一切
，点
都在函数
的图象上.
（1）求
，归纳数列的通项公式（不必证明）；
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
，
，
， 
；
，
，
，
；
，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为
，求
的值；
（3）设
为数列
的前项积，若不等式
对一切都成立，其中
，求
的取值范围.
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【题目】教材曾有介绍：圆
上的点
处的切线方程为
。我们将其结论推广：椭圆
上的点处的切线方程为
，在解本题时可以直接应用。已知，直线
与椭圆
有且只有一个公共点.
（1）求
的值；
（2）设
为坐标原点，过椭圆
上的两点
、
分别作该椭圆的两条切线
、
，且与交于点
。当
变化时，求
面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，经过点作直线
与该椭圆交于
、
两点，在线段
上存在点
，使
成立，试问：点是否在直线
上，请说明理由.
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【题目】已知椭圆
的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，
为坐标原点．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
在椭圆上，点
在直线
上，且
，求证：
为定值；
（3）设点
在椭圆上运动，
，且点到直线
的距离为常数
，求动点
的轨迹方程．
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