Question

5．求以曲线2x²+y²-4x-10=0和y²=2x-2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 联立$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+{y}^{2}-4x-10=0}\\{{y}^{2}=2x-2}\end{array}\right.$，解出可得渐近线方程为：y=$±\frac{2}{3}$x.2a=12，解得a．对焦点分类讨论即可得出．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+{y}^{2}-4x-10=0}\\{{y}^{2}=2x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=±2}\end{array}\right.$，
∴渐近线方程为：y=$±\frac{2}{3}$x．
2a=12，解得a=6．
当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a，b＞0）．
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{2}{3}$，∴b=4．
∴双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
同理可得：当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{81}=1$．

点评 本题考查了曲线的交点、双曲线的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．