Question

4．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D₁分别是BC，B₁C₁的中点．
（1）求证：AD⊥C₁D；
（2）求证：平面ADC₁∥平面A₁D₁B．

Answer 1

分析 （1）线面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据面面平行的判定定理证明即可．

解答 （1）证明：∵底面边长均为2，D是BC中点，∴AD⊥BC-----------------（1分）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，AD?平面ABC，
∴AD⊥BB₁---------------（2分）
∵BC?平面B₁BCC₁，BB₁?平面B₁BCC₁，BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，--------------（3分）
∵DC₁?面B₁BCC₁，
∴AD⊥DC₁-----------（4分）
（2）证明：连结A₁C交于AC₁O，连结DO，如图示：
∵O是正方形ACC₁A₁对角线的交点
∴O为A₁C中点
∵D是BC的中点
∴OD∥A₁B，且OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁--------------（6分）
∴A₁B∥平面ADC₁-------------------（7分）
∵D，D₁分别是BC，B₁C₁的中点，
∴AA₁∥DD₁，AA₁=DD₁，
∴四边形AA₁D₁D是平行四边形
∴AD∥A₁D₁-----（9分）
∵A₁D₁?平面ADB₁，AD?平面ADB₁，
∴A₁D₁∥平面ADB₁---------（10分）
∵A₁D₁∩A₁B=A₁，
∴平面ADC₁∥平面A₁D₁B-----------------（12分）

点评 本题考查了线面垂直的判定定理以及面面平行的判定定理，考查数形结合思想，是一道中档题．