【题目】如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.
(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?
(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,AP段围墙造价为每平方米150元,AQ段围墙造价为每平方米100元.若围围墙用了30000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
【答案】
(1)解:∵AP+AQ=200,
∴S= ≤ =2500 .
当且仅当x=y=100时取“=”.
∴当x=y=100时,可使得三角形地块APQ的面积最大
(2)解:设AP=x,AQ=y,则1x150+1.5y100=30000,
化为:x+y=200≥2 ,可得xy≤10000.
∴PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=(x+y)2﹣xy=40000﹣xy≥30000.
当且仅当x=y=100时取“=”.
即PQ≥100 .
∴当且仅当x=y=100时,可使PQ取得最小值,即使用竹篱笆用料最省
【解析】(1)AP+AQ=200,可得S= ≤ .(2)设AP=x,AQ=y,可得1x150+1.5y100=30000,化为:x+y=200≥2 ,可得xy≤10000.
可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=(x+y)2﹣xy=40000﹣xy,即可得出PQ的最小值.
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【题目】如图,半圆AOB是某市休闲广场的平面示意图,半径OA的长为10,管理部门在A,B两处各安装好一个光源,其相应的光强度分别为4和9,根据光学原理,地面上某处照度y与光强度I成正比,与光源距离x的平方成反比,即y= (k为比例系数),经测量,在弧AB的中心C处的照度为130.(C处的照度为A,B两处光源的照度之和)
(1)求比例系数k的值;
(2)现在管理部门计划在半圆弧AB上,照度最小处增设一个光源P,试问新增光源P安装在什么位置?
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【题目】某港口水的深度是时间,单位: 的函数,记作.下面是某日水深的数据:
经长期观察, 的曲线可以近似地看成函数的图象.一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为或以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).
(1)求与满足的函数关系式;
(2)某船吃水程度(船底离水面的距离)为,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问它同一天内最多能在港内停留多少小时?(忽略进出港所需的时间).
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【题目】已知函数f(x)=lnx.
(1)设h(x)为偶函数,当x<0时,h(x)=f(﹣x)+2x,求曲线y=h(x)在点(1,﹣2)处的切线方程;
(2)设g(x)=f(x)﹣mx,求函数g(x)的极值;
(3)若存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)> 成立,求实数k的取值范围.
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【题目】对于四面体,有以下命题:
(1)若,则过向底面作垂线,垂足为底面的外心;
(2)若, ,则过向底面作垂线,垂足为底面的内心;
(3)四面体的四个面中,最多有四个直角三角形;
(4)若四面体的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.
其中正确的命题是__________.
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