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如图1，某学校田径场上有一旗杆OP，为了测量它的高度，在地面上选一基线AB，设其长度为d，在A点处测得P点的仰角为α，在B点处测得P点的仰角为β．
（1）若AB=20，α=30°，β=45°，且∠AOB=30°，求旗杆的高度h；
（2）经分析若干测得的数据后，发现将基线AB调整到线段AO上（如图2），α与β之差尽量大时，可以提高测量精确度，设调整后AB的距离为d，tanβ=

，旗杆的实际高度为25，试问d为何值时，β-α最大？

分析：（1）利用余弦定理，可得AB²=OA²+OB²-2OA•OBcos∠AOB，即可求旗杆的高度h；
（2）计算tan（β-α），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）在Rt△POA中，OA=

h，在Rt△POB中，OB=h，
在Rt△AOB中，d²=（

h）²+h²-2•

h•hcos30°，其中：d=20，得：h=20，
故旗杆的高度为20
（2）∵tanα=

，tanβ=

∴tan（β-α）=

d(h+4)

16h

d2(h+4)

16d

d2(h+4)+16h

d(h+4)+

16h

≤

16h(h+4)

h(h+4)

当且仅当d（h+4）=

16h

即d=

时“=”成立
故当d=

时，tan（β-α）最大，
∵0＜α＜β＜

，∴0＜β-α＜

，
∴当d=

时，β-α最大

点评：本题考查余弦定理的运用，考查差角的正切公式，考查正切函数的单调性，属于中档题．

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