[题目]长方体中.(1)求直线与所成角,(2)求直线与平面所成角的正弦. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】长方体中，

（1）求直线与所成角；

（2）求直线与平面所成角的正弦.

【答案】（1）直线所成角为90°；（2）。

【解析】

试题（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD1与B1D的方向向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与B1D所成角；

（2）求出平面B1BDD1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．

解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D1（1，0，1），B1（0，2，1），D（1，0，0）．

∴，

∴cos==0，

∴=90°，

∴直线AD1与B1D所成角为90°；

（2）设平面B1BDD1的法向量=（x，y，z），则

∵，=（﹣1，2，0），

∴，

∴可取=（2，1，0），

∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为=．

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，

① ，

② ，

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下面用数学归纳法证明这一猜想．

（i）当时，左边，右边，所以等式成立．

（ⅱ）假设当时，等式成立，即

④ ．

那么，当时，

⑤

⑥

⑦ ．

等式也成立．

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