Question

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴的正半轴分别于A、B两点，O为原点.|OA|=a,|OB|=b,a＞2,b＞2.

（1）求证：(a-2)(b-2)=2;

（2）求线段AB中点的轨迹方程；

（3）求△AOB面积的最小值，并求此时的直线方程.

Answer 1

(1)略;(2)(x-1)(y-1)=(x＞1,y＞1);?

(3)(S_△AOM)_min=3+2,y=-x+2+.?

解析:（1）证明：C:(x-1)²+(y-1)²=1.?

如图，设三个切点分别为M、N、P，则|AM|+|BN|=|AP|+|BP|=|AB|，即(a-1)+(b-1)=,化简即得(a-2)(b-2)=2.?

（2）设AB中点Q(x,y),?

又(a-2)(b-2)=2,

∴(x-1)(y-1)=(x＞1,y＞1).?

(3)2=(a-2)(b-2)=ab-2(a+b)+4≤ab-4+4.?

令=t＞0,则t²-4t+2≥0

当且仅当a=b时，取“＝”.