分析 (1)由求导公式求出f′(x),再求出f(1)和f′(1),由导数的几何意义求出切线的斜率,利用点斜式求出切线方程并化为一般式;
(2)先求出函数的定义域,再由f′(x)=0求出函数的临界点,利用二次函数的性质求出f′(x)>0和f′(x)<0的解集,即可求出函数的单调区间和极值.
解答 解:(1)由题意得,$f′(x)=\frac{1}{x}+x-3=\frac{{x}^{2}-3x+1}{x}$,且$f(1)=-\frac{5}{2}$,
∴切线的斜率k=f′(1)=-1,
∴在(1,f(1))处切线方程:$y=-(x-1)-\frac{5}{2}$,即2x+y+3=0;
(2)函数的定义域(0,+∞),
由$f′(x)=\frac{{x}^{2}-3x+1}{x}=0$得,x2-3x+1=0,
解得${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}或{x}_{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,
当$0<x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}或x>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时,f′(x)>0,
当$\frac{3-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时,f′(x)<0,
∴函数的单调递增区间为$(0,\frac{{3-\sqrt{5}}}{2})$,$(\frac{{3+\sqrt{5}}}{2},+∞)$,
函数的单调递减区间为$(\frac{{3-\sqrt{5}}}{2},\frac{{3+\sqrt{5}}}{2})$,
∴当$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时,f(x)取得极大值$f(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=ln\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{3\sqrt{5}-11}{4}$,
当$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时,f(x)取得极小值$f(\frac{3+\sqrt{5}}{2})=ln\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{3\sqrt{5}+11}{4}$.
点评 本题考查导数的几何意义,以及利用导数研究函数的单调性、极值问题,考查化简、计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
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