Question

设a，b，c，d∈R，则条件甲：ac=2（b+d）是条件乙：方程x²+ax+b=0与方程x²+cx+d=0中至少有一个有实根的（　　）

• A、充分而不必要条件
• B、必要而不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：由于直接判断难度较大，故我们可以先判断非乙?非甲的真假，再判断非甲?非乙的真假，判断出命题非乙是非甲的什么条件，再利用互为逆否的命题真假性相同得到答案．

解答：解：若方程x²+ax+b=0与方程x²+cx+d=0中均无实根
则a²-4b＜0且c²-4d＜0
则

a2+c2

2

＜2(b+d)
即ac＜2（b+d）
此时ac≠2（b+d）
故非乙?非甲是真命题，
但ac≠2（b+d）时，ac＜2（b+d）不一定成立，
故方程x²+ax+b=0与方程x²+cx+d=0中均无根不一定成立
故非甲?非乙是假命题，
故非乙是非甲的充分不必要条件
根据互为逆否命题真假性相同，我们可得：
条件甲：ac=2（b+d）是条件乙：方程x²+ax+b=0与方程x²+cx+d=0中至少有一个有实根的充分而不必要条件
故选A．

点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中利用“正难则反”的原则，将问题转化为证明其逆否命题真假的判断是解答的关键．