Question

素材1：烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染；

素材2：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比；

素材3：有A、B两座烟囱相距20 km;

素材4：B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍.

将上面的素材构建成一个问题然后再解答.

Answer 1

构建问题：烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染.

已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比.现有A、B两座烟囱相距20 km，

    其中，B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低.

思路分析：列出烟尘浓度与点C距离A、B的距离的函数关系式，再利用导数求最小值.

解：不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，设|AC|=x，则0＜x＜20.

∴|BC|=20-x.

依题意得点C处的烟尘浓度y为

y=(k为比例系数).

∴y′=-

=

令y′=0,得到(3x-20)·(3x²+400)=0.

又0＜x＜20,∴x=.

∵当x∈(0, )时，y′＜0,x∈(,20)时，y′＞0,∴当x=时，y取最小值.

故当点C位于距A点 km处时，该点的烟尘浓度最低.