Question

16．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为$\frac{1}{2}R$，AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为$\frac{64}{3}π$．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．

解答 解：在△ABC中，
∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），
r=$\frac{2\sqrt{3}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
又∵球心到平面ABC的距离d=$\frac{1}{2}$R，
∴球O的半径R=$\sqrt{4+\frac{1}{4}{R}^{2}}$，
∴R²=$\frac{16}{3}$，
故球O的表面积S=4πR²=$\frac{64}{3}π$，
故答案为$\frac{64}{3}π$．

点评 本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．