Question

6．设x，y，z∈R，若2x-3y+z=3，求x²+（y-1）²+z²的最小值，并求取最小值时y的值．

Answer 1

分析 方法一、2x-3y+z=3为一平面，x²+（y-1）²+z²为以（0，1，0）为球心，半径为r的球．运用球心到平面距离即是半径r，计算即可得到最小值；
方法二、由条件可得z=3-2x+3y，x²+（y-1）²+z²=x²+（y-1）²+（3-2x+3y）²，配方由非负数概念，可得最小值和y的值．

解答 解法一：2x-3y+z=3为一平面，
x²+（y-1）²+z²为以（0，1，0）为球心，半径为r的球．
由球和平面有交点，当r最小时，此球与平面相切于一点，
此时球心到平面距离即是半径r，
即r=$\frac{|2×0-3×1+0-3|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{6}{\sqrt{14}}$，
则x²+（y-1）²+z²的最小值为$\frac{36}{14}$=$\frac{18}{7}$；
解法二：z=3-2x+3y，
x²+（y-1）²+z²=x²+（y-1）²+（3-2x+3y）²=5x²-12x（y+1）+9（y+1）²+（y-1）²
=5[x-1.2（y+1）]²+1.8（y+1）²+（y-1）²
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8y²+1.6y+2.8
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8[y²+$\frac{1.6}{2.8}$y+（$\frac{0.8}{2.8}$）²]+2.8-$\frac{0．{8}^{2}}{2.8}$
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8（y+$\frac{2}{7}$）²+$\frac{18}{7}$≥$\frac{18}{7}$．
当且仅当x=$\frac{6}{7}$，y=-$\frac{2}{7}$时，取得最小值，且为$\frac{18}{7}$．

点评 本题考查最小值的求法，注意运用配方法和非负数的思想，以及球面方程和球心到平面的距离，考查运算能力，属于中档题．