Question

棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、E、F分别为棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中点．
（1）求证：B、D、E、F四点共面；
（2）求证：平面AMN∥平面EFBD．
（3）求点A₁到平面AMN的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）分别连结B₁D₁、ED、FB，由正方体性质知B₁D₁∥BD．由此能证明E、F、B、D四点共面．
（2）连结A₁C₁交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO．由已知得四边形PAOQ为平行四边形，由此能证明平面AMN∥平面EFBD．
（3）过A₁作A₁H⊥AP，则MN⊥A₁H，A₁H⊥平面AMN，由此能求出点A₁到平面AMN的距离．

解答： （1）证明：分别连结B₁D₁、ED、FB，由正方体性质知B₁D₁∥BD．
∵E、F分别是D₁C₁和B₁C₁的中点，
∴EF

∥

.

1

2

B₁D₁．∴EF

∥

.

1

2

BD．
∴E、F、B、D四点共面．
（2）证明：连结A₁C₁交MN于P点，交EF于点Q，
连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO．
∵M、N为A₁B₁、A₁D₁的中点，
∴MN∥EF．而EF?面EFBD．
∴MN∥面EFBD．∵PQ

∥

.

AO，
∴四边形PAOQ为平行四边形．∴PA∥QO．
而QO?平面EFBD，∴PA∥平面EFBD，
且PA∩MN=P，PA、MN?面AMN．
∴平面AMN∥平面EFBD．
（3）解：∵A₁B₁C₁D₁是正方形，M、N分别为棱A₁B₁、A₁D₁的中点，
∴A₁P⊥MN，A₁P=

1

4

A1C1=

2

4

a，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴MN⊥AA₁，又AA₁∩A₁P=A₁，∴MN⊥平面AA₁P，
过A₁作A₁H⊥AP，则MN⊥A₁H，∴A₁H⊥平面AMN，
∵AP=

a2+( 2 4 a)2

=

3 2

4

a，
又

1

2

AP×A1H=

1

2

AA1×A1P，
∴A1H=

AA1×A1P

AP

=

a× 2 4 a

3 2 4 a

=

a

3

．
∴点A₁到平面AMN的距离为

a

3

．

点评：本题考查B、D、E、F四点共面的证明，考查平面AMN∥平面EFBD的证明，考查点A₁到平面AMN的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．