Question

2．已知二次函数f（x）=ax²-bx+1，A={x|1≤x≤3}，B={x|1≤x≤4}．
（1）若a∈A，b∈B，且a，b∈Z，求函数f（x）在[1，+∞）上为增函数的概率；
（2）若a∈A，b∈B，求关于x的方程f（x）=0一根在区间$（0\;，\;\frac{1}{2}）$内，另一根在$[0\;，\;\frac{1}{2}]$外的概率．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的性质，利用列举法求出基本事件的个数进行求解即可．
（2）利用一元二次函数根的分布求出对应的取值范围，结合概率公式进行求解即可．

解答 解：（1）记B为“函数f（x）在[1，+∞）上为增函数的概率”，因为a=1，2，3，b=1，2，3，4，则基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）共12个------（2分）
要使得函数f（x）在[1，+∞）上为增函数则有，
所以事件B包含的基本事件为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）共10个‘
所以事件B的概率为 P（B）=10/12=5/6；-----（4分）
（2）设事件A为“关于x的方程f（x）=0一根在区间$（0\;，\;\frac{1}{2}）$内，另一根在$[0\;，\;\frac{1}{2}]$外”．
试验的全部结果所构成的区域为Ω={（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤4}．------（6分），
∵f（0）=1＞0，
∴若满足事件A，须 $f（\frac{1}{2}）＜0$，
即$\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+1＜0$，即a-2b+4＜0，
∴构成事件A的区域为$\left\{{\begin{array}{l}{1≤a≤3}\\{1≤b≤4}\\{a-2b+4＜0}\end{array}}\right.$
表示的区域如图所示的阴影部分------（8分）
其中A（1，1），B（3，1），C（3，4），D（1，4），E（3，3.5），F（1，2.5）
阴影部分的面积为${S_A}=\frac{{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}}{2}•2=2$
区域Ω的面积为S_Ω=2×3=6------（10分）
∴事件A的概率为$P（A）=\frac{S_A}{S_Ω}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$------（12分）
∴f（x）=0一根在区间$（0\;，\;\frac{1}{2}）$内，另一根在$[0\;，\;\frac{1}{2}]$外的概率为$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查概率的计算，利用列举法求古典概型的概率，注意要利用数形结合进行求解．