Question

如图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3，DH：HA=2：3．
求证：EF、GH、BD交于一点．

Answer 1

证明：连接GE、HF，
∵E、G分别为BC、AB的中点，
∴GE∥AC．
又∵DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，
∴HF∥AC．∴GE∥HF．
故G、E、F、H四点共面．
又∵EF与GH不能平行，
∴EF与GH相交，设交点为O．
则O∈面ABD，O∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD．∴EF、GH、BD交于一点．
分析：由“E、G分别为BC、AB的中点”可得GE∥AC；再由“DF：FC=2：3，DH：HA=2：3”，比例相等，可得HF∥AC；此时根据公理4就可得GE∥HF．同时GE≠HF，所以EF与GH相交，再由公理2可知，交点应该在两平面的交线上．
点评：此题主要考查了公理2与公理4，是一道典型的平面题：“若两平面相交，则必产生一条交线，此时两面内各有一条直线，若他们相交，则交点必在交线上”．这个小结论，好多题目中都会用到．