【题目】已知.
(1)设是的极值点,求实数的值,并求的单调区间:
(2)时,求证:.
【答案】(1) 单调递增区间为,单调递减区间为; (2)见解析.
【解析】
(1)由题意,求得函数的导数,由是函数的极值点,解得,又由,进而得到函数的单调区间;
(2)由(1),进而得到函数的单调性和最小值,令,利用导数求得在上的单调性,即可作出证明.
(1)由题意,函数的定义域为,
又由,且是函数的极值点,
所以,解得,
又时,在上,是增函数,且,
所以,得,,得,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由(1)知因为,在上,是增函数,
又(且当自变量逐渐趋向于时,趋向于),
所以,,使得,
所以,即,
在上,,函数是减函数,
在上,,函数是增函数,
所以,当时,取得极小值,也是最小值,
所以,
令,
则,
当时,,函数单调递减,所以,
即成立,
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【题目】如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有:( )
A.∥平面B.平面∥平面
C.直线与直线所成角的大小为D.
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【题目】某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示:
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(2)按分层抽样从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选取6人,再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动,求他们在不同分数段的概率.
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【题目】已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元,且每生产1吨该产品需另投入12万元,现假设该企业在一年内共生产该产品吨并全部销售完.每吨的销售收入为万元,且.
(1)求该企业年总利润(万元)关于年产量(吨)的函数关系式;
(2)当年产量为多少吨时,该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大?
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【题目】从2013年开始,国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行学生体质健康测试,方案要求以学校为单位组织实施,某校对高一(1)班学生根据《国家学生体质健康标准》的测试项目按百分制进行了预备测试,并对50分以上的成绩进行统计,其频率分布直方图如图.所示,已知[90,100]分数段的人数为2.
(1)求[70,80)分数段的人数;
(2)现根据预备测试成绩从成绩在80分以上(含80分)的学生中任意选出2人代表班级参加学校举行的一项体育比赛,求这2人的成绩一个在[80,90)分数段、一个在[90,100]分数段的概率.
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【题目】已知椭圆的右顶点为,为上顶点,点为椭圆上一动点.
(1)若,求直线与轴的交点坐标;
(2)设为椭圆的右焦点,过点与轴垂直的直线为,的中点为,过点作直线的垂线,垂足为,求证:直线与直线的交点在椭圆上.
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【题目】勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线,它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现,其作法是:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图中的两个勒洛三角形,它们所对应的等边三角形的边长比为,若从大的勒洛三角形中随机取一点,则此点取自小勒洛三角形内的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】临近开学季,某大学城附近的一款“网红”书包销售火爆,其成本是每件15元.经多数商家销售经验,这款书包在未来1个月(按30天计算)的日销售量(个)与时间(天)的关系如下表所示:
时间(/天) | 1 | 4 | 7 | 11 | 28 | … |
日销售量(/个) | 196 | 184 | 172 | 156 | 88 | … |
未来1个月内,前15天每天的价格(元/个)与时间(天)的函数关系式为(且为整数),后15天每天的价格(元/个)与时间(天)的函数关系式为(且为整数).
(1)认真分析表格中的数据,用所学过的一次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据(个)与(天)的关系式;
(2)试预测未来1个月中哪一天的日销售利润最大,最大利润是多少?
(3)在实际销售的第1周(7天),商家决定每销售1件商品就捐赠元利润给该城区养老院.商家通过销售记录发现,这周中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间(天)的增大而增大,求的取值范围.
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