Question

如图，在四棱锥P-ABCO中，底面四边形OABC是直角梯形，∠AOC=90°，AB∥OC，PO⊥平面OABC，且|OC|=3a，|PO|=|AO|=|AB|=a．
（1）求证：AO⊥平面POC；
（2）求异面直线PA与BC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证AO⊥平面POC，只需证明AO垂直于平面POC中的两条相交直线．利用线面垂直的性质，以及直角，可证AO分别垂直于PO，CO，而PO，CO都在平面POC 上，就可证出AO⊥平面POC．
（2）欲求异面直线PA与BC所成角的大小，只需平移两条直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角即为异面直线所成角，再把角放入三角形中，通过解三角形，求出该角．

解答：解：（1）∵PO⊥面OABC，∴PO⊥AO∵∠AOC=90°，∴CO⊥AO
∴AO⊥面POC
（2）作AD∥BC交OC于D，连PD，则∠PAD是PA与BC所成的角，
易知DC=AB=a，OD=OC-DC=2a，
在Rt△POA，Rt△POD，Rt△AOP中分别得PA=

2

a，PD=

5

a，AD=

5

a，

在△PAD中，cos∠PAD=

PA2+AD2-PD2

2PA•AD

=

10

10

∴∠PAD=arccos

10

10

是所求角的大小．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及异面直线所成角的计算．