Question

【题目】已知为椭圆上的一个动点，弦分别过左右焦点，且当线段的中点在轴上时， ．

（1）求该椭圆的离心率；（2）设，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值6．

【解析】试题分析：（1）当线段的中点在y轴上时,AC垂直于x轴, 为直角三角形.运用余弦函数的定义可得,易知,再由椭圆的定义,结合离心率公式即可得到所求值;
(2)由(1)得椭圆方程为,焦点坐标为,当AB,AC的斜率都存在时,设,求得直线AC的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理,再由向量共线定理,可得为定值6;若轴,若轴,计算即可得到所求定值.

试题解析：

解：（1）当线段的中点在轴上时， 垂直于轴， 为直角三角形，

因为，所以，

易知，

由椭圆的定义可得，

则，即；即，即有；

（2）由（1）得椭圆方程为，焦点坐标为，

①当的斜率都存在时，设，

则直线的方程为，代入椭圆方程得：

，

可得，又，

同理，可得；

（2）若轴，则， ，这时；

若轴，则，这时也有；

综上所述， 是定值6．