Question

（2012•徐州模拟）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB经过圆上O的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=

1

2

，圆O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

分析：连接OC，在△AOB中，利用等腰三角形三线合一得到OC⊥AB，再结合切线的判定定理，得到AB与圆O相切于C点．又因为ED是圆O的直径，可得∠E+∠EDC=90°，利用等角的余角相等，得到∠BCD=∠E，利用公共角∠CBD=∠EBC，得到△BCD∽△BEC，所以BC²=BE•BD．最后在Rt△CDE中，利用正切的定义得到

CD

CE

=

1

2

，所以

BD

BC

=

CD

CE

=

1

2

，设BD=x，则BC=2x，可得（2x）²=x（x+6），解之得x=2，从而得到OA=OB=BD+OD=5．

解答：解：连接OC，
∵△AOB中，OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB
∵OC是圆O的半径，∴AB与圆O相切于C点．
又∵ED是圆O的直径，
∴∠ECD=90°，可得∠E+∠EDC=90°
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD=∠EBC
∴△BCD∽△BEC，

BC

BE

=

BD

BC

=

CD

CE

，可得BC²=BE•BD…①
∵Rt△CDE中，tan∠CED=

CD

CE

=

1

2

，
∴

BD

BC

=

CD

CE

=

1

2

，设BD=x，则BC=2x
代入①，得（2x）²=x（x+6），解之得x=2
∴OA=OB=BD+OD=5

点评：本题给出圆中的直角三角形和底边与圆相切的等腰三角形，欲求等腰三角形的腰长，着重考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形三角函数的定义和与圆有关的比例线段等知识点，属于中档题．