【题目】对于定义域为D的函数,如果存在区间
,同时满足:①
在
内是单调函数;②当定义域是
时,
的值域也是
,则称
是该函数的“优美区间”.
(1)求证:是函数
的一个“优美区间”.
(2)求证:函数不存在“优美区间”.
(3)已知函数(
)有“优美区间”
,当a变化时,求出
的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)结合“优美区间”的定义,可证明结论;
(2)若函数存在“优美区间”,可得函数在
上单调递减,从而可得
,联立可推出矛盾,即可证明结论;
(3)函数有“优美区间”,结合单调性可得
,联立可求得
的关系,进而可求得
的最大值.
(1)在区间
上单调递增,
又,
,∴
的值域为
,
∴区间是
的一个“优美区间”.
(2)设是已知函数
的定义域的子集.
由,可得
或
,
∴函数在
上单调递减.
若是已知函数的“优美区间”,则
,
两式相减得,,则
,
,
则,显然等式不成立,
∴函数不存在“优美区间”.
(3)设是已知函数定义域的子集.
由,则
或
,
而函数在
上单调递增.
若是已知函数的“优美区间”,则
,
∴是方程
,即
的两个同号且不等的实数根.
,∴
同号,只须
,
解得或
,
,
∴当时,
取得最大值
.
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【题目】在用二次法求方程3x+3x-8=0在(1,2)内近似根的过程中,已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )
A. B.
C.
D. 不能确定
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【题目】如图所示,在三棱台中,点
在
上,且
,点
是
内(含边界)的一个动点,且有平面
平面
,则动点
的轨迹是( )
A. 平面B. 直线C. 线段,但只含1个端点D. 圆
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【题目】下列结论中错误的是( )
A.命题“若,则
”的逆否命题是“若
,则
”
B.“”是“
”的充分条件
C.命题“若,则方程
有实根”的逆命题是真命题
D.命题“若,则
且
”的否命题是“若
,则
或
”
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【题目】已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x(a∈R).
(1)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若存在实数a∈[﹣4,4]使得关于x的方程f(x)﹣tf(a)=0恰有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.
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