Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣a﹣ln（x+a）．
（1）当 时，求f（x）的单调区间与极值；
（2）当a≤1时，证明：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解： 时， ， ，

注意到 与 都是增函数，于是f'（x）在 上递增，

又 ，故 时，f'（x）＜0；故 时，f'（x）＞0，

所以f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，

当 时，f（x）取得极小值1，f（x）无极大值

（2）解：方法一：当a≤1，x∈（﹣a，+∞）时，x﹣a≥x﹣1，x+a≤x+1，

∴ex﹣a≥ex﹣1，ln（x+a）≤ln（x+1），ex﹣a﹣ln（x+a）≥ex﹣1﹣ln（x+1）

故只需证明当a=1时，f（x）=ex﹣1﹣ln（x+1）＞0．

当a=1时， 在（﹣1，+∞）上单增，

又 ， ，

故f'（x）在（﹣1，+∞）上有唯一零点x0∈（0，1）．

当x∈（﹣1，x0）时，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0．

从而x=x0时，f（x）取得最小值．

由f'（x0）=0得： ，ln（x0+1）=1﹣x0，

故 ，

综上，当a≤1时，f（x）＞0．…（12分）

方法二：先证不等式ex≥x+1与x﹣1≥lnx，

设g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1=0x=0，

可得g（x）在（﹣∞，0）上单减，在（0，+∞）上单增，

∴g（x）=ex﹣x﹣1≥g（0）=0，即ex≥x+1；

设h（x）=x﹣1﹣lnx，则 ，

可得h（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，

∴h（x）=x﹣1﹣lnx≥h（1）=0，即x﹣1≥lnx．

于是，当a≤1时，ex﹣a≥x﹣a+1≥x+a﹣1≥ln（x+a），

注意到以上三个不等号的取等条件分别为：x=a、a=1、x+a=1，它们无法同时取等，

所以，当a≤1时，ex﹣a＞ln（x+a），即f（x）＞0．

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；（2）法一：问题转化为只需证明当a=1时，f（x）=ex﹣1﹣ln（x+1）＞0，根据函数的单调性证明即可；

法二：先证不等式ex≥x+1与x﹣1≥lnx，设g（x）=ex﹣x﹣1，h（x）=x﹣1﹣lnx，根据函数的单调性证明即可．

【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．