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4.已知抛物线y2=4x,直线l过定点P(2,1),斜率为k,当k为何值时,直线l与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.

分析 设出直线方程代入抛物线方程整理可得k2x2+(-4k2+2k-4)x+4k2-4k+1=0(*)
(1)直线与抛物线只有一个公共点?(*)只有一个根
(2)直线与抛物线有2个公共点?(*)有两个根
(3)直线与抛物线没有一个公共点?(*)没有根

解答 解:由题意可设直线方程为:y=k(x-2)+1,
代入抛物线方程整理可得k2x2+(-4k2+2k-4)x+4k2-4k+1=0(*)
(1)直线与抛物线只有一个公共点等价于(*)只有一个根
①k=0时,y=1符合题意;
②k≠0时,△=(-4k2+2k-4)2-4k2(4k2-4k+1)=0,整理,得2k2-k+1=0,无解,
综上可得,k=0;
(2)由(1)得2k2-k+1>0且k≠0,∴k≠0;
(3)由(1)得2k2-k+1<0,无解.

点评 本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围,一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题,体现了转化的思想.

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(参考公式)$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{∧}{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\stackrel{∧}{a}=\stackrel{∧}{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}}\end{array}\right.$,其中$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}$,$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{y_i}$.

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