Question

【题目】“金镶玉”是北京奥运会的奖牌设计所采用的式样,喻示中国传统文化中的“金玉良缘”,体现了中国人对奥林匹克精神的礼赞和对运动员的褒奖.它的设计方案,创意十分新颖,突破了以往任何一届奥运会奖牌设计单一材质的传统,又融入了典型的中国文化元素,是中国文化与体育精神完美结合的载体.现有一矩形玉片,为毫米,为32毫米,为的中点.现要开槽镶嵌金丝,将其加工为镶金工艺品,如图,金丝部分为优弧和线段其中优弧所在圆的圆心为,圆与矩形的边分别相切于点以及点在线段上(在的左侧),分别于圆相切于点且.若优弧部分镶嵌的金丝每毫米造价为元(),线段部分镶嵌的金丝每毫米造价为元.记锐角镶嵌金丝的总造价为元.

（1）试表示出关于的函数并写出的范围;

（2）当镶嵌金丝的总造价最低时,求出四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

(1)用分别求出优弧的长以及的长，即可求出的表达式.当 重合时， 取最小.

(2)求出，运用导数的思想，求出取最小值时的的值，进而求出的长，根据梯形的面积公式即可求.

(1)解：如图，过点作的垂线,垂足为，过作的垂线，垂足为.

由圆与矩形相切可知,圆的半径为16，

则，

，

因为与圆相切，切点为，所以，则，

所以，

即，

.

因为优弧的圆心角为，所以优弧的长为，

所以

.

考虑临界状态,当 三点重合时， 为直角三角形，其中，

，即.

(2)解：由(1)知

，

其中.

令，得或(舍去).

因为为锐角，所以.

当 时,，则单调递减；

当 时,，则单调递增即当时,，取最小值.

此时，

.