Question

【题目】已知函数 ．
（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）当x＞0时， 恒成立，求整数k的最大值；
（3）试证明：（1+12）（1+23）（1+34）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题 ，

故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；

（2）解：当x＞0时， 恒成立，即 在（0，+∞）上恒成立，

取 ，则 ，

再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），则 ，

故g（x）在（0，+∞）上单调递增，

而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，

故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，

故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，

故 ，故kmax=3

（3）证明：由（2）知： ，∴

令 ，

又ln[（1+12）（1+23）（1+34）…（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1）） =

即：（1+12）（1+23）（1+34）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3

【解析】（1）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；（2）当x＞0时， 恒成立，即 在（0，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k的最大值；（3）由（2）知： ，从而令 ，即可证得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握不等式的证明(不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等)的相关知识才是答题的关键．