【题目】在正方体中,E是棱的中点.
(1)画出平面与平面的交线;
(2)在棱上是否存在一点F,使得∥平面若存在,指明点F的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)存在,证明见解析
【解析】
(1)延长与交于点,连接即为所求;(2)存在,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接EG,BG,CD1,FG,通过证明EG∥A1B可得四点共面,根据正方体的性质得到B1F∥BG,根据线面平行判定定理即可得结论.
(1)延长与交于点,连接,
由于,∴,,
又∵,∴为面和面的公共点,
同时也为面和面的公共点,
根据公理3可得为平面与平面的交线.
(2)存在,当为的中点时,满足题意,理由如下,如图所示,
分别取C1D1和CD的中点F,G,连接EG,BG,CD1,FG,
因为A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,
因此D1C∥A1B,
又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EG∥D1C,从而EG∥A1B,
这说明A1,B,G,E共面,所以平面A1BE,
由正方体的性质易知B1F∥BG,而平面A1BE,
故B1F∥平面A1BE.
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【题目】已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足.
求椭圆的标准方程;
若,试证明:直线l过定点并求此定点.
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【题目】如图(一),在直角梯形中,,,,是的中点,将沿折起,使点到达点的位置得到图(二),点为棱上的动点.
(1)当在何处时,平面平面,并证明;
(2)若,,证明:点到平面的距离等于点到平面的距离,并求出该距离.
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【题目】如图,已知四面体ABCD中,DA=DB=DC=且DA、DB、DC两两互相垂直,点是△ABC的中心.
(1)求直线DA与平面ABC所成角的大小(用反三角函数表示);
(2)过作OE⊥AD,垂足为E,求ΔDEO绕直线DO旋转一周所形成的几何体的体积;
(3)将△DAO绕直线DO旋转一周,则在旋转过程中,直线DA与直线BC所成角记为,求的取值范图.
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【题目】已知点与的距离和它到直线的距离的比是常数.
求点M的轨迹C的方程;
设N是圆E:上位于第四象限的一点,过N作圆E的切线,与曲线C交于A,B两点求证:的周长为10.
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【题目】已知圆O经过椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点以及两个顶点,且点(b,)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且|MN|=,求直线l的倾斜角.
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