Question

【题目】已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．
（1）求动点P的轨迹C1的方程；
（2）设 ，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得，

点P满足

∴动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中 ，2c=2

∴动点P的轨迹C1的方程为 ．

（2）解：设N（t，t2），则PQ的方程为：y﹣t2=2t（x﹣t），

整理，得y=2tx﹣t2，

联立方程组 ，消去y整理得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，

有 ，

而 ，

点M到PQ的高为 ，

由 代入化简得：

即 ；

当且仅当t2=10时，S△MPQ可取最大值 ．

当直线的斜率不存在时，x=t，S△MPQ= ．

∴S△MPQ最大值 ．

【解析】（1）由已知可得动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中 ，2c=2，由此能求出动点P的轨迹C1的方程．（2）设N（t，t2），则PQ的方程为y=2tx﹣t2 ， 联立方程组 ，得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式，结合已知条件能求出三角形面积的最大值．