Question

【题目】已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小1．

（1）求曲线的方程；

（2）动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为．直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y；（2）直线AB过定点（0，2）.

【解析】试题分析：（1）由已知动点满足到点的距离比到直线的距离小1，可得：动点满足到点的距离与到直线的距离相等．利用抛物线的定义可知：点的轨迹是抛物线；（2）设，设切线的切点为，由得，利用导数可得，利用向量计算公式即可得出，解出，即可得出切点， ，进而得到切线方程.

试题解析：(1)因为动点满足到点的距离比到直线的距离小1,所以动点满足到点的距离与直线的距离相等.

所以曲线是以为焦点为准线的抛物线,所以曲线的方程是: .

(2)设,切点为,由得,所以,所以,解得: ,所以,

,化简直线方程得: ，

所以直线恒过定点.