Question

f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f（x）的值域为（-1，1）；乙：若x₁≠x₂则一定有f（x₁）≠f（x₂）；丙：若规定f1( x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，则fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N*恒成立你认为上述三个命题中正确的个数有

 

．

Answer 1

分析：由题设知函数f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，是一个奇函数，先研究自变量大于0时的性质，再由奇函数的性质导出另一部分的性质．甲研究的是其值域问题；乙研究的是单调性问题；丙研究的是一个恒等式，宜用递推关系推证结论．

解答：解：函数f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，故函数是一个奇函数，先研究（0，+∞）上的性质
当x∈（0，+∞）时，f(x)=

x

1+x

(x∈R +)即f(x)=1-

1

1+x

(x∈R +)，函数在（0，+∞）上是增函数用值域为（0，1）
由奇函数的定义知函数在（-∞，0）上是增函数且值域为（-1，0），又f（0）=0故函数在R上的值域是（-1，1），且在R上是增函数，由此知甲乙两命题是正确的．
对于丙，f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））对任意的n∈N^*都成立，有f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

(x∈R)，
f₂（x）=f（f₁（x））=

x

1+2|x|

(x∈R)，f₃（x）=f（f₂（x））=

x

1+3|x|

(x∈R)…f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

1+n|x|

(x∈R)故丙也是正确的．
综上，三个命题都是正确的
故应填3．

点评：考查函数的性质，判断单调性与求值域时本题采用了分段研究的技巧，丙命题的证明采用了穷举法，在解题时不常用．