Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c∈R且满足a＞b＞c，f（1）=0．
（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A，B；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，试求a，b的值；
（3）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）证明函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A，B，只需证明：ax²+2bx+c=0，有两个不同的实数根；
（2）函数F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2bx+c的对称轴为x=-

b

a

，可以证明y=F（x）在[2，3]上为增函数，利用函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，可求a=2，b=1；
（3）设方程F（x）=ax²+2bx+c=0的两根为x₁，x₂，则

x1+x2=- 2b a x1x2= c a

，从而|A1B1|2=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4[(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

]，确定对称轴的范围及变量的区间，即可求得线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围．

解答：（1）证明：由g（x）=-bx与f（x）=ax²+bx+c得ax²+2bx+c=0，
∵f（1）=a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
从而△=b²-4ac＞0，
即函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A，B；…（3分）
（2）解：∵c=-a-b，a＞b＞c，
∴a＞c=-a-b
∴2a＞-b
∴-

b

a

＜2
∵函数F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2bx+c的对称轴为x=-

b

a

，
∴y=F（x）在[2，3]上为增函数，…（6分）
∵函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值为9，最大值为21
∴F（2）=3a+3b=9，F（3）=8a+5b=21，
∴a=2，b=1；…（8分）
（3）解：设方程F（x）=ax²+2bx+c=0的两根为x₁，x₂，∴

x1+x2=- 2b a x1x2= c a

|A1B1|2=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=4[(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

]，…（9分）
∵a＞b＞c，b=-a-c
∴a＞-a-c＞c
∴

c

a

∈(-2，-

1

2

)，…（10分）
设|A1B1|2=h(

c

a

)=4[(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

]，则它的对称轴为x=-

1

2

，h(

c

a

)在

c

a

∈(-2，-

1

2

)上是减函数，
∴|A1B1|2∈(3，12)，得|A1B1|∈(

3

，2

3

)．…（12分）

点评：本题以函数为载体，考查图象的交点，考查函数的单调性与二次函数最值的研究，解题时确定函数的对称轴及变量的区间是关键．