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    选修4-2：矩阵与变换若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，
    （1）求abc的最大值；      
    （2）求
    		a+1
    +
    		2b+1
    +
    		3c+1
    的最大值．
    分析：（1）直接利用三次不等式进行求解即可；
    （2）利用柯西不等式得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2进行求解即可．
    解答：解：（1）∵6=a+2b+3c≥3
    3a•2b•3c
    ，
    ∴abc≤
    4
    3
    当且仅当a=2b=3c即a=2，b=1，c=
    2
    3
    时等号成立，
    ∴abc的最大值为
    4
    3
    ；
    （2）由柯西不等式，∵
    		a+1
    ×1+
    		2b+1
    ×1+
    		3c+1
    ×1≤
    		(a+1+2b+1+3c+1)(1+1+1)
    =3
    		3
    ，
    当且仅当a+1=2b+1=3c+1即a=2，b=1，c=
    2
    3
    时等号成立，
    ∴
    		a+1
    +
    		2b+1
    +
    		3c+1
    的最大值为3
    		3
    ．
    点评：本题主要考查了三次不等式，以及一般形式的柯西不等式．证明不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，注意重要不等式中等号成立的条件．属于中档题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）选修4-2：矩阵与变换
    若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为e1=
    1
    0
    和e2=
    0
    1
    ．
    （I）求矩阵A；
    （II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    已知曲线C1的参数方程为
    x=2sinθ
    y=cosθ
    (θ    为参数），C2的参数方程为
    x=2t
    y=t+1
    (t    为参数）
    （I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；
    （II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
    （I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
    （II）若g(x)=
    1
    f(x)+m
    的定义域为R，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M′（2x，4y）．
    （Ⅰ）求变换T的矩阵；
    （Ⅱ）圆C：x2+y2=1在变换T的作用下变成了什么图形？
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的极坐标方程为：5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0，直线?的参数方程为：
    x=1-
    		3
    t
    y=t
    （t为参数）．
    （Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；
    （Ⅱ）直线?上有一定点P（1，0），曲线C1与?交于M，N两点，求|PM|．|PN|的值．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a2+
    1
    4
    b2+
    1
    9
    c2    +m-1=0．
    （Ⅰ）求证：a2+
    1
    4
    b2+
    1
    9
    c2≥
    (a+b+c)2
    14
    ；
    （Ⅱ）求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年福建省高三第八次月考理科数学试卷 题型：解答题

    本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分

    （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

    变换是将平面上每个点的横坐标乘，纵坐标乘，变到点.

    （Ⅰ）求变换的矩阵；

    （Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？

    （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

    已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.

    （Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

    （Ⅱ）直线上有一定点，曲线与交于M，N两点，求的值．

    （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

     已知为实数，且

    （Ⅰ）求证：

    （Ⅱ）求实数m的取值范围．

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年福建省福州三中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    （1）选修4-2：矩阵与变换
    若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为．
    （I）求矩阵A；
    （II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    已知曲线C1的参数方程为为参数），C2的参数方程为为参数）
    （I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；
    （II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
    （I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
    （II）若的定义域为R，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：福建省龙岩一中2011-2012学年高三下学期第八次月考试卷数学（理） 题型：解答题

     本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分

    （1）选修4-2：矩阵与变换

    变换是将平面上每个点的横坐标乘，纵坐标乘，变到点.

    （Ⅰ）求变换的矩阵；

    （Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？

    （2）选修4-4：坐标系与参数方程

    已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.

    （Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

    （Ⅱ）直线上有一定点，曲线与交于M，N两点，求的值．

    （3）选修4-5：不等式选讲

     已知为实数，且

    （Ⅰ）求证：

    （Ⅱ）求实数m的取值范围．

     

     

     

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