Question

已知 

e1

、

e2

是夹角为

2π

3

的两个单位向量，

a

=

e1

-2

e2

，

b

=k

e1

+

e2

，若向量

a

、

b

的夹角为钝角，则实数k的取值范围为

k＜

5

4

且k≠-

1

2

．

Answer 1

分析：根据题意，|

e1

|=|

e2

|=1，且

e1

•

e2

=-

1

2

．因为向量量

a

、

b

的夹角为钝角，所以

a

、

b

的数量积小于0，且向量

a

、

b

不共线，由此建立不等式组，代入前面算出的数据并化简整理，即可解出实数k的取值范围．

解答：解：∵向量

e1

、

e2

是夹角为

2π

3

的两个单位向量，
∴|

e1

|=|

e2

|=1，且

e1

•

e2

=|

e1

|×|

e2

|cos

2π

3

=-

1

2

∵

a

=

e1

-2

e2

，

b

=k

e1

+

e2

，向量

a

、

b

的夹角为钝角
∴向量

a

、

b

的数量积小于0，且向量

a

、

b

不共线
可得

( e1 -2 e2 )(k e1 + e2 )＜0 k×(-2)≠1×1

，即

k e1 2+(1-2k) e1 • e2 -2 e2 2＜0 k≠- 1 2

将

e1

2=

e2

2=1和

e1

•

e2

=-

1

2

代入不等式，解之得k＜

5

4

且k≠-

1

2

故答案为：k＜

5

4

且k≠-

1

2

点评：本题给出两个关于单位向量线性组合的向量，在已知它们夹角为钝角的基础上求参数k的范围，着重考查了平面向量数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题．