Question

【题目】已知数列{an}是首项为a1= ，公比q= 的等比数列，设bn+2=3 an（n∈N*），数列{cn}满足cn=anbn ．
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若cn≤ m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意得，an= = ，

又bn+2=3 an（n∈N*），则bn+2=3 =3n，

所以bn=3n﹣2，即bn+1﹣bn=3，且b1=1，

所以{bn}是为1为首项，3为公差的等差数列

（2）证明：解：由（1）得，an= ，bn=3n﹣2

所以cn=anbn= ，

则Sn= ①，

Sn= ②，

① ﹣②得， Sn=

=

= ，

所以Sn=

（3）证明：由（2）得，cn= ，

cn+1﹣cn= ﹣ = ，

所以当n=1时，c2=c1= ，

当n≥2时，c2=c1＞c3＞c4＞c5＞…＞cn，

则当n=1或2时，cn的最大值是 ，

因为cn≤ m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，

所以 ≤ m2+m﹣1，即m2+4m﹣5≥0，解得m≥1或m≤﹣5，

故实数m的取值范围是m≥1或m≤﹣5

【解析】（1）根据题意和等比数列的通项公式求出an ， 再由对数的运算性质求出bn ， 根据等差数列的定义进行证明；（2）由（1）和题意求出数列{cn}的通项公式，利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和；（3）先化简cn+1﹣cn ， 再根据结果的符号与n的关系，判断出数列{cn}的最大项，将恒成立问题转化为具体的不等式，再求出实数m的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．