Question

已知椭圆C的两个焦点是)和，并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．
（1）求椭圆C和抛物线E的标准方程；
（2）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l₁、l₂，l₁交抛物线E于点A、B，l₂交抛物线E于点G、H，求的最小值．

Answer 1

（1）椭圆C的标准方程为，抛物线E的标准方程为．（2）有最小值为16．

试题分析：（1）由于椭圆上任意一点到焦点的距离都等于,所以，
，由此即得椭圆的标准方程．椭圆右顶点F的坐标为(1，0)，所以抛物线E的标准方程为．（2）设，，，，则 
.再设l₁的方程：，l₂的方程，用韦达定理将上式表示为即可求得其最小值.
试题解析：（1）设椭圆的标准方程为(a>b>0)，焦距为2c，
则由题意得c=，，
∴，
∴椭圆C的标准方程为．         4分
∴右顶点F的坐标为(1，0)．
设抛物线E的标准方程为，∴ ，
∴抛物线E的标准方程为．      6分
（2）设l₁的方程：，l₂的方程，
，，，，
由消去y得：，
∴．
由消去y得：，
∴     9分
∴





．
当且仅当即时，有最小值16．  13分