Question

已知tanα＝2，则

(1)＝________．

(2)4sin²α－3sinαcosα－5cos²α＝________．

(3)若sinα＋cosα＝且0＜α＜π，求tanα

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本例考查用整体代换法求两类函数式值 　　①已知tanα的值，求sinα和cosα构成的齐次式(或可化为齐次式)的值； 　　②sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个式子的值，求其余二式的值． 　　解答　　(1)注意到分式的分子与分母均为关于sinα、cosα的一次齐次式，将分子、分母同除以cosα(∵cosα≠0)，然后整体代入tanα＝2的值． 　　＝＝＝－1． 　　∴应填－1． 　　(2)注意到sin2α＋cos2α＝1，4sin2α－3sinαcosα－5cos2α 　　＝ 　　＝ 　　＝＝＝1． 　　∴应填1． 　　(3)∵sinα＋cosα＝ 　　∴(sinα＋cosα)2＝sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝ 　　∴2sinαcosα＝－ 　　∵0＜α＜π ∴＜α＜π 　　∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝ 　　∴sinα－cosα＝ 　　由 　　得sinα＝cosα＝－ 　　∴tanα＝－ 　　评析　　知tanα＝m的条件下，求关于sinα、cosα的齐次式之问题，解这类问题须注意以下两点： 　　(1)一定是关于sinα、cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式； 　　(2)∵cosα≠0，可用cosnα(n∈N*)除之，这样可以将被求式化为关于tanα的表示式，可整体代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值．