Question

7．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知A，B的极坐标分别为$（2，\frac{π}{2}）$，$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$．
（1）求直线AB的直角坐标方程；
（2）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），试判断直线AB与圆C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）由A，B的极坐标化为直角坐标，根据斜率公式和点斜式方程求出直线AB的方程，再化为一般式方程；
（2）将圆C的参数方程化为直角坐标系下的方程，并求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离，再与半径比较即可得到答案．

解答 解：（1）由题意得，A，B的极坐标分别为$（2，\frac{π}{2}）$，$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，
∴A（0，2），B（1，1），
则l_AB方程为：$y=\frac{1-2}{1-0}x+2$，则y=-x+2，即x+y-2=0；
（2）∵圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，
∴圆C的标准方程为：（x-1）²+y²=4，圆心为C（1，0），半径r=2，
则圆心为C（1，0）到直线AB：x+y-2=0的距离$d=\frac{|1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}＜2$=r，
所以直线AB与圆C相交．

点评 本题考查极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程之间的转化，点到直线之间的距离公式的应用，以及直线与圆的位置关系的判断，属于中档题．