Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，函数在是否存在零点？如果存在，求出零点；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）不存在零点.

【解析】

（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号确定单调性，（2）先利用导数求在上最大值，再构造函数，利用导数证得，化简证得，从而确定在不存在零点.

（1）函数的定义域为，

（一）当时，时，，单调递增；

时，，单调递减.

（二）时，方程有两解或1

①当时，

时，，在，上单调递减.

时，，单调递增.

②当时，令，得或

（i）当时，时恒成立，在上单调递增；

（ii）当时，.

时，，在、上单调递增.

时，，单调递减.

（iii）当时，

时，，在，单调递增.

时，，单调递减.

综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；

当时，在上单调递增；

当时，的单调递增区间为、，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（2）由（1）可知当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值也是最大值.

令，则，令得，

当，，当，，

所以在定义域上先增后减，在处取最大值0，所以，，

所以，，，所以

即，

又，所以函数在不存在零点.