如图所示,已知以点 为圆心的圆与直线 相切,过点的动直线 与圆 相交于两点,是的中点,直线与相交于点 .
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线的方程;
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
(1); (2)或;(3)是定值,且.
【解析】
试题分析:(1)已知圆的圆心,再根据直线与圆相切可利用圆心到直线的距离等于半径来求出圆心,这样即可求出圆的标准方程; (2)已知直线被圆截得的弦长可联想到圆的特征三角形的三边的关系: ,又直线过一点可联想到设出直线的点斜式方程,但此处一定要注意斜率是否存在从而分两种情况讨论:当斜率不存在时,由图可直接分析得出;当斜率存在时,先计算出圆心到直线的距离,再结合已知由上述特征三角形的关系可求出直线的斜率,进而得出直线方程; (3)要判断是否为定值,发现点是弦的中点,根据圆的几何性质有:,即可得,再由向量运算的知识可知,这样可转化为去求,最后结合(2)中所设直线的两种形式去求出点的坐标,由向量数量积的运算公式可得是一个常数.
试题解析:(1)设圆的半径为,因为圆与直线相切,所以,故圆的方程为; (2)当直线与轴垂直时,易知符合题意;当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,即.连接,则,,由,得,得直线的方程为,所求直线的方程为:或;(3) ,当直线与轴垂直时,得,则,又,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,由 ,解得, ,综上所述,是定值,且.
考点:1.圆的方程;2.直线与圆的位置关系;3.向量的数量积
科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖北武汉部分重点中学高二上期中考试理数学试卷(带解析) 题型:解答题
(本小题满分14分)如图所示,已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线与圆相交于,两点,是的中点,直线与相交于点.
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线的方程.
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2014届湖北武汉部分重点中学高二上期中考试理数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)如图所示,已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线与圆相交于,两点,是的中点,直线与相交于点.
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线的方程.
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2014届湖北省高二9月调研考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分13分)如图所示,已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线与圆相交于,两点,是的中点,直线与相交于点.
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线的方程.
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
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