Question

1．在正项数列{a_n}中，a₁=1，a₂=10，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$（n=3，4，5…），求数列|a_n|的通项公式．

Answer 1

分析 令$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b₁=10，由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$（n=3，4，5…），可得${b}_{n+1}=\sqrt{{b}_{n}}$＞0，两边取对数可得$lg{b}_{n+1}=\frac{1}{2}lg{b}_{n}$，利用等比数列的通项公式可得：lgb_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，b_n=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．因此$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．再利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：令$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b₁=10，∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$（n=3，4，5…），可得${b}_{n+1}=\sqrt{{b}_{n}}$＞0，
∴$lg{b}_{n+1}=\frac{1}{2}lg{b}_{n}$，
∴数列{lgb_n}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{2}$．
∴lgb_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴b_n=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-2}}$$•1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-3}}$•…$•1{0}^{（\frac{1}{2}）^{0}}$•1
=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-2}+（\frac{1}{2}）^{n-3}+…（\frac{1}{2}）^{0}}$
=$1{0}^{\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}}$
=$1{0}^{2-（\frac{1}{2}）^{n-2}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．