Question

9．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-6n，数列{|a_n|}的前n项和T_n，则$\frac{T_n}{n}$的最小值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出a_n=2n-7．n≤3时，T_n=-S_n=-n²+6n，n≥4时，T_n=${S}_{{n}_{\;}}$-2S₃=n²-6n+18，由此能求出$\frac{T_n}{n}$的最小值．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²-6n，
∴a₁=S₁=1-6=-5，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-6n）-[（n-1）²-6（n-1）]=2n-7，
n=1时，上式成立，
∴a_n=2n-7．
当a_n=2n-7≥0时，$n≥\frac{7}{2}$，a₃=2×3-7=-1，a₄=2×4-7=1，
∴n≤3时，T_n=-S_n=-n²+6n，$\frac{T_n}{n}$=$\frac{-{n}^{2}+6n}{n}$=6-n≤3，n=3时，$\frac{{T}_{n}}{n}$取最小值3；
n≥4时，T_n=${S}_{{n}_{\;}}$-2S₃=n²-6n+18，
$\frac{{T}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}-6n+18}{n}$=n+$\frac{18}{n}$-6
∴当n=4时，$\frac{T_n}{n}$的最小值4+$\frac{18}{4}-6$=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查数列的前n项和与项数n的比值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．