Question

若x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x1=-

1

3

，x2=1，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2

3

，求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，根据x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）的两个极值点可知 -

1

3

和1是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，利用韦达定理建立方程组，解之即可；
（2）根据条件 |x1|+|x2|=2

3

建立b²关于a的函数关系，然后利用导数研究函数的最值即可求出b的最大值

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依题意有-

1

3

和1是方程3ax²+2bx-a²=0的两根
∴

- 2b 3a = 2 3 - a 3 =- 1 3

解得

a=1 b=-1

，∴f（x）=x³-x²-x．（经检验，适合）．
（2）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依题意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，∵x₁x₂=-

a

3

＜0且 |x1|+|x2|=2

3

，
∴(-

2b

3a

)2+

4a

3

=12，∴b²=3a²（9-a）
∵b²≥0∴0＜a≤9．
设p（a）=3a²（9-a），则p'（a）=54a-9a²．
由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．
即函数p（a）在区间（0，6]上是增函数，在区间[6，9]上是减函数，
∴当a=6时，p（a）有极大值为324，∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，
∴b的最大值为18．

点评：考查学生会用待定系数法求函数解析式，会利用导数研究函数的极值．