Question

△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinB=

3

bcosA．
（Ⅰ）求角A．
（Ⅱ）若a=

7

，且△ABC的面积为

3 3

2

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，根据sinB不为0求出tanA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出角A的度数；
（Ⅱ）由三角形面积公式表示出三角形ABC的面积，由sinA与已知的面积求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，将bc的值即可求出b+c的值．

解答：解：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinB=

3

sinBcosA，
∵sinB≠0，∴sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
又A为三角形的内角，
则A=60°；
（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

bcsin60°=

3 3

2

，∴bc=6，
∵a=

7

，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得：7=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-18，
即（b+c）²=25，
则b+c=5．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．