【题目】已知椭圆: 的离心率,过点、分别作两平行直线、, 与椭圆相交于、两点, 与椭圆相交于、两点,且当直线过右焦点和上顶点时,四边形的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若四边形是菱形,求正数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)由题意布列a,b的方程组,解之即可;(2)依题意可以分别设的方程为: ,由椭圆的对称性得: ,所以是平行四边形,所以是菱形,等价于,即,联立方程,由韦达定理及垂直关系可得: ,结合条件建立m,k的不等关系,即可得到正数的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ),椭圆方程可以化为,
直线过右焦点和上顶点时,方程可以设为,联立得:
,所以四边形的面积为,
所以椭圆方程为: ;
(Ⅱ)依题意可以分别设的方程为: ,由椭圆的对称性得: ,所以是平行四边形,所以是菱形,等价于,即,
将直线的方程代入椭圆方程得到: ,
由,
设,由,
得到: ,
从而: ,化简得: ,
所以解得,
所以正数的取值范围是.
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【题目】新鲜的荔枝很好吃,但摘下后容易变黑,影响卖相.某大型超市进行扶贫工作,按计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝,每天进货量相同且每公斤20元,售价为每公斤24元,未售完的荔枝降价处理,以每公斤16元的价格当天全部处理完.根据往年情况,每天需求量与当天平均气温有关.如果平均气温不低于25摄氏度,需求量为公斤;如果平均气温位于摄氏度,需求量为公斤;如果平均气温位于摄氏度,需求量为公斤;如果平均气温低于15摄氏度,需求量为公斤.为了确定6月1日到30日的订购数量,统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据,得到如图所示的频数分布表:
平均气温 | ||||||
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
(Ⅰ)假设该商场在这90天内每天进货100公斤,求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润(结果取整数);
(Ⅱ)若该商场每天进货量为200公斤,以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天该商场不亏损的概率.
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【题目】为选拔选手参加“中国诗词大会”,某中学举行一次“诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为)进行统计.按照, , , , 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在, 的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中、的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”,设随机变量表示所抽取的2名学生中得分在内的学生人数,求随机变量的分布列及数学期望.
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【题目】全国大学生机器人大赛是由共青团中央,全国学联,深圳市人民政府联合主办的赛事,是中国最具影响力的机器人项目,是全球独创的机器人竞技平台.全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力,坚持和态度,展现的是个人实力以及整个团队的力量.2015赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名,这些参赛战队来自全国六大赛区,150余所高等院校,其中不乏北京大学,清华大学,上海交大,中国科大,西安交大等众多国内顶尖高校,经过严格筛选,最终由111支机器人战队参与到2015年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中,某大学共有“机器人”兴趣团队1000个,大一、大二、大三、大四分别有100,200,300,400个,为挑选优秀团队,现用分层抽样的方法,从以上团队中抽取20个团队.
(1)应从大三抽取多少个团队?
(2)将20个团队分为甲、乙两组,每组10个团队,进行理论和实践操作考试(共150分),甲、乙两组的分数如下:
甲:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142
乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140
从甲、乙两组中选一组强化训练,备战机器人大赛.
(i)从统计学数据看,若选择甲组,理由是什么?若选择乙组,理由是什么?
(ii)从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队,求至少有一个团队为144分的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且过点. 为椭圆的右焦点, 为椭圆上关于原点对称的两点,连接分别交椭圆于两点.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵若,求的值;
⑶设直线, 的斜率分别为, ,是否存在实数,使得,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】国家收购某种农产品的价格为120元/t,其中征税标准为每100元征收8元(称税率为8个百分点),计划可收购a万t,为减轻农民负担,决定降低税率x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降低税率后,税收y(万元)与x的关系式;
(2)要使此项税收在税率调整后不低于原计划的78%,试确定x的范围.
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