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设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.

(-∞,1]


解析:

g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a

g′(x)=0,解得xea-1-1,

(1)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,

g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),

即当a≤1时,对于所有x≥0,都有 f(x)≥ax

(2)当a>1时,对于0<xea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,

g(0)=0,所以对0<xea-1-1,都有g(x)<g(0),

即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.

综上,a的取值范围是(-∞,1].

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②当b<0时,函数f(x)在R上有最小值;

③函数f(x)的图象关于(0,c)对称;

④方程f(x)=0可能有三个实数根.

[  ]

A.①③

B.①④

C.①②④

D.①③④

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