Question

已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.
（1）求实数a的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）A={a|－1≤a≤1}. （2）{m|m≥2，或m≤－2}.）

试题分析：（1）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≤0对x∈[－1，1]恒成立，
即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.       ①
设(x)=x²－ax－2，
① －1≤a≤1，
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.                        -6分
（2）由=，得x²－ax－2=0，  ∵△=a²+8>0
∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两实根，
∴从而|x₁－x₂|==.
∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.                10分
要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.       ②
设g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，
（方法一：）
②m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.                      --14分
（注：方法二： 当m=0时，②显然不成立；  当m≠0时，
② 或 m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.）
点评：难题，在某区间，导函数值非负，则函数为增函数；导函数值非正，则函数为减函数。通过研究函数的图象和性质，进一步研究方程有实根的情况，这是函数与方程思想的灵活应用。不等式恒成立问题，一般的要转化成求函数的最值问题。