Question

19．（理科）已知函数f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在（2，f（2））处的切线l与直线4x-y+4=0平行，求a的值．
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过f′（2）=4，从而求出a的值；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，进而求出函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax-（2a+1）+$\frac{1}{x}$，
∴f′（2）=4a-（2a+1）+$\frac{1}{2}$=4，解得：a=$\frac{9}{4}$；
（Ⅱ）f′（x）=2ax-（2a+1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-（2a+1）x+1}{x}$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，（x＞0），
当a＞$\frac{1}{2}$时，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2a}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
∴函数f（x）在（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞）单调递增，在（$\frac{1}{2a}$，1）单调递减；
当a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2a}$或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{1}{2a}$，
∴函数f（x）在（0，1），（$\frac{1}{2a}$，+∞）单调递增，在（1，$\frac{1}{2a}$）单调递减．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查曲线的切线问题，考查导数的应用，是一道中档题．