分析 (Ⅰ)先求出函数f(x)的导数,通过f′(2)=4,从而求出a的值;
(Ⅱ)先求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围,进而求出函数的单调区间.
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=2ax-(2a+1)+$\frac{1}{x}$,
∴f′(2)=4a-(2a+1)+$\frac{1}{2}$=4,解得:a=$\frac{9}{4}$;
(Ⅱ)f′(x)=2ax-(2a+1)+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-(2a+1)x+1}{x}$=$\frac{(2ax-1)(x-1)}{x}$,(x>0),
当a>$\frac{1}{2}$时,
令f′(x)>0,解得:x>1或0<x<$\frac{1}{2a}$,
令f′(x)<0,解得:$\frac{1}{2a}$<x<1,
∴函数f(x)在(0,$\frac{1}{2a}$),(1,+∞)单调递增,在($\frac{1}{2a}$,1)单调递减;
当a=$\frac{1}{2}$时,f′(x)≥0,函数f(x)在(0,+∞)单调递增,
当0<a<$\frac{1}{2}$,
令f′(x)>0,解得:x>$\frac{1}{2a}$或x<1,
令f′(x)<0,解得:1<x<$\frac{1}{2a}$,
∴函数f(x)在(0,1),($\frac{1}{2a}$,+∞)单调递增,在(1,$\frac{1}{2a}$)单调递减.
点评 本题考查了函数的单调性问题,考查曲线的切线问题,考查导数的应用,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-1)n$\frac{{n}^{2}}{2n+1}$ | B. | (-1)n$\frac{n(n+2)}{n+1}$ | C. | (-1)n$\frac{n(n+2)}{2n+1}$ | D. | (-1)n$\frac{(n+1)^{2}-1}{2(n+1)}$ |
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