Question

9．已知点A（0，5），圆C：x²+y²+4x-12y+24=0
（1）若直线l过A（0，5）且被圆C截得的弦长为4$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（2）点M（-1，0），N（0，1），点Q是圆C上的任一点，求△QMN面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心和半径．设过该点的直线方程，求圆心到直线的距离与半径和半弦长构成勾股定理，解出斜率k，即得到直线方程，注意讨论斜率不存在的情况；
（2）求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值，进而可求△ABC的面积最小值．

解答 解：（1）圆C：x²+y²+4x-12y+24=0，其圆心坐标为（-2，6），半径为r=4，点P（0，5），
当直线斜率不存在时，直线方程为：x=0，
当x=0时，y²-12y+24=0，解得y=6±2$\sqrt{3}$，
可得弦长为6+2$\sqrt{3}$-（6-2$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$成立；
当直线斜率存在时，设过P的直线方程为：y=kx+5，化为一般方程：kx-y+5=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-2k-6+5|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
又（2$\sqrt{3}$）²+d²=r²=16，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
所以3x-4y+20=0，
综上可得直线l：x=0或3x-4y+20=0；
（2）直线MN的方程为-x+y=1，即x-y+1=0．
圆C：x²+y²+4x-12y+24=0，其圆心坐标为（-2，6），半径为r=4，
可得圆心（-2，6）到直线MN的距离为d=$\frac{|-2-6+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
圆上的点到直线距离的最小值为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$-4．
由|MN|=$\sqrt{2}$，可得△ABC的面积最小值是$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×（$\frac{7\sqrt{2}}{2}$-4）=$\frac{7}{2}$-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查求直线的方程，注意运用点到直线的距离公式、弦长公式，考查三角形的面积的最小值，注意运用转化思想，求得圆上点到直线的最小值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．