Question

10．化简方程$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=4，使结果不含根式．

Answer 1

分析 解法一：令$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=m，又$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=4，k可得$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{m+4}{2}$，$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{4-m}{2}$．平方相减可得：8x=-4m，
于是$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2+x，两边平方化简即可得出．
解法二：由于（2，0）与（-2，0）两点之间的距离d=4．即可得出（x，y）表示线段y=0（-2≤x≤2）．

解答 解法一：令$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=m，又$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=4，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{m+4}{2}$，$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{4-m}{2}$．
∴平方相减可得：8x=-4m，
∴m=-2x．
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2+x，
两边平方可得：y=0（-2≤x≤2）．
解法二：∵（2，0）与（-2，0）两点之间的距离d=4．
∴（x，y）表示线段y=0（-2≤x≤2）．

点评 本题考查了根式的运算性质、乘法公式、“换元法”、两点之间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．